Cálculo en la estructura de bandas de cristales fotónicos

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Resumen

In this work, a brief review of the theory supporting the occurrence of bands of frequencies in so-called photonic crystals is made, as well as the calculation of the band diagram of some purely theoretical structures that may have no affinity with the structures that It can be carried out in a laboratory. First, it reviews the theory that justifies the definition of electrical permittivity over a material medium under considerations or approximations. The starting points are, of course, Maxwell's equations, since the periodic variation of the electrical permittivity is the main responsible for the appearance of the prohibited bands, it is necessary to review from these equations as one can characterize the fields in a medium . Second, to review a set of analytical methods that reduce the problem of finding the frequencies and fields that can be propagated by these structures; That the methods are not, not formally developed, how the complexity of the problem can be reduced by the use of symmetries and the use of Bloch's theorem. Finally, using the revised tools, we obtain the equation that describes how the electromagnetic field propagates in these structures, as well as the frequencies that satisfy this equation. This equation is emphasized as a problem of eigenvalues ​​and eigenvectors, which implies a solution to a finite set of first-degree algebraic equations with the main difficulty of finding the representation of a function of type 1 / f (r) Is a basis of the function space associated with the Fourier series. It is shown in that it consists of a band diagram, how it can be constructed and what relevant information can be extracted from it. The master equation for one-dimensional structures is solved by usual methods and a couple of examples are shown. He solves the master equation for structures in two and three dimensions using the software developed in the MIT of the MIT Photonic bands by which the numerical solution of the master equation is solved and the data can be obtained to graph the band diagram and The distribution of the fields in one, two and three dimensions.

Descripción

En este trabajo se hace una breve revisión de la teoría que sustenta la aparición de bandas prohibidas de frecuencia en los denominados cristales fotónicos, así como, el cálculo del diagrama de bandas de algunas estructuras puramente teóricas que pueden tener o no afinidad con estructuras que se pueden llevar a cabo en un laboratorio. En primer lugar, se revisa la teoría que justifica la definición de la permitividad eléctrica sobre un medio material bajo ciertas consideraciones o aproximaciones. Los puntos de partida son, por supuesto, las ecuaciones de Maxwell, puesto que la variación periódica de la permitividad eléctrica es la principal responsable de la aparición de bandas prohibidas, es necesario revisar desde estas ecuaciones como se pueden caracterizar los campos en un medio. En segundo lugar, se revisa un conjunto de métodos analíticos que permiten reducir el problema de encontrar las frecuencias y los campos que se pueden propagar por estas estructuras; dichos métodos si bien no son formalmente desarrollados muestran cómo se puede reducir la complejidad del problema mediante el uso de simetrías y el uso del teorema de Bloch. Por último, empleando las herramientas revisadas, se obtiene la ecuación maestra que describe como se propaga el campo electromagnético en estas estructuras, así como, las frecuencias que satisfacen esta ecuación; se hace hincapié en formular esta ecuación como un problema de valores y vectores propios, lo que conlleva a solucionar un conjunto finito de ecuaciones algebraicas de primer grado con la principal dificultad de hallar la representación de una función del tipo 1/ f(r) en una base del espacio de funciones asociada con la serie de Fourier. Se muestra en que consiste un diagrama de bandas, como se puede construir y que información relevante se puede extraer de este. Se resuelve mediante métodos usuales la ecuación maestra para estructuras unidimensionales y se muestran un par de ejemplos. Se resuelve la ecuación maestra para estructuras en dos y tres dimensiones mediante el uso del software desarrollado en el MIT llamado MIT Photonic Bands mediante el cual se soluciona numéricamente la ecuación maestra y se pueden obtener los datos para graficar el diagrama de bandas y la distribución de los campos en una, dos y tres dimensiones.

Palabras clave

Cristales, Fotónicos, Diagrama, Bandas, Bloch, Brillouin

Materias

Licenciatura en Física - Tesis y disertaciones académicas , Reflexión (Óptica) , Electromagnetismo , Ecuaciones de Maxwell , Dieléctricos

Citación