Teoría cualitativa de los sistemas dinámicos no lineales y el modelo de FitzHugh-Nagumo
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Universidad Distrital Francisco José de Caldas
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Resumen
The present work is divided into two parts. First, it examines the fundamental concepts of qualitative theory for analyzing nonlinear dynamic systems, including the theorems of Hartman-Grobman, Lyapunov, and the Bendixon's criterion. Subsequently, these theoretical elements are applied to the analysis of the Fitzhugh-Nagumo model. Special attention is given to the local analysis of the system, represented by the following set of equations: x' = y + x - x³/3 + I and y' = -x + a - by where x' and y' denote the temporal derivatives of x and y respectively, a, b, and I are real parameters (Murray, 2002). A variety of different behaviors are identified, ranging from hyperbolic and non-hyperbolic points to spirals, nodes, saddles, and cycles.
Descripción
El presente trabajo se divide en dos partes. En primer lugar, se estudian los conceptos fundamentales de la teoría cualitativa para el análisis de sistemas dinámicos no lineales, incluyendo los teoremas de Hartman-Grobman, Lyapunov y el criterio de Bendixon. Posteriormente, estos elementos teóricos se aplican al análisis del modelo de Fitzhugh-Nagumo. Se presta especial atención al análisis local del sistema, el cual está representado por el siguiente conjunto de ecuaciones:
x' = y + x - x³/3 + I e
y' = -x + a - by
donde x' y y' denotan las derivadas temporales de x e y respectivamente, a, b e I son parámetros reales (Murray, 2002). Se logra identificar una variedad de comportamientos distintos, que abarcan desde puntos hiperbólicos y no hiperbólicos, hasta espirales, nodos, sillas y ciclos.
Palabras clave
Sistemas dinámicos, Fitzhugh-Nagumo, Hartman-Grobman, Lyapunov, Criterio de Bendixon