Introducción físico matemática del Método del Elemento Finito
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2017-05-31
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Descripción
Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son importantes en el desarrollo del análisis matemático y en el modelamiento de diversas situaciones relacionadas con fenómenos químicos, biológicos, astronómicos, geológicos, entre otros. La complejidad de algunos fenómenos físicos se describe mediante ecuaciones en derivadas parciales cuyas soluciones presenta dificultades a nivel analítico o simplemente no tienen solución por este medio, entonces se recurre a métodos no analíticos tales como: métodos gráficos, métodos experimentales, métodos analógicos y métodos numéricos. En el presente trabajo se utilizarán métodos numéricos. Los métodos numéricos, al contrario, han cobrado importancia en la solución de muchos problemas en Física e Ingeniería debido al surgimiento de veloces computadoras digitales. Entre las técnicas numéricas más usadas en Física e Ingenierıa se encuentran: el método de diferencias finitas y el método del elemento finito. En el método de diferencias finitas, la región de solución es representada con una red de puntos de cuadrícula. Esto restringe su a aplicación a problemas con fronteras con forma regular. Esta limitación no se presenta en el método del elemento finito ya que este aborda problemas con forma irregular, maneja un número ilimitado de tipos de condiciones de contorno y varía el tamaño de los elementos para hacer posible el uso de elementos pequeños donde sean necesarios. El problema a resolver en este trabajo es dar una de- scripción general del Método del Elemento Finito (MEF) para solucionar numéricamente ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que describen fenómenos fısicos y desarrollar el método explicando cada una de sus etapas para que el usuario pueda implementar dicho método computacionalmente.
Resumen
Differential equations with partial derivatives are critical for the development of mathematical analysis and for modeling a variety of situations involving chemical, biological, astronomical, and geological phenomena, to name a few. Certain physical phenomena are described by partial derivative equations whose solutions pose difficulties at the analytical level or simply do not exist. After that, non-analytical techniques such as graphical methods, experimental methods, analogical methods, and numerical methods are used. In the present work, numerical methods will be used. These methods have gained prominence in solving a wide variety of problems in Physics and Engineering as a result of the development of fast digital computers. The finite difference and finite element methods are two of the most frequently used numerical techniques in physics and engineering. In the finite difference method, the solution region is represented by a network of grid points. This limits its regular application to border issues. This restriction does not apply to the finite element method because it deals with irregular shapes, handles an infinite number of boundary conditions, and varies the size of the elements to allow for the use of small elements where necessary. The purpose of this work is to provide an overview of the Finite Element Method (FEM) for numerically solving differential equations in partial derivatives that describe physical phenomena and to develop the method by explaining each stage so that the user can implement it computationally.
Palabras clave
Método del elemento finito, nodos limítrofes, ecuaciones en derivadas parciales, triangulación
Materias
Licenciatura en Física - Tesis y disertaciones académicas, Método de elementos finitos, Método de elementos finitos - Problemas, ejercicios, etc., Métodos numéricos