Conexiones sobre Geometría Semi-Riemanniana y Coeficientes de Christoffel
Fecha
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2017-08-08
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Editor
Altmetric
Descripción
Éste trabajo de grado presenta:
La primera forma fundamental y como a partir de ella se generan las geometrías tensoriales Riemanniana y Semi-Riemanniana evidenciando ciertos ejemplos.
Una métrica Semi-Riemanniana sobre R^(n+1) usando cierta forma cuadrática y mostrando que el transporte paralelo correspondiente a la conexión de Levi-Civita de la métrica descrita coincide con el transporte paralelo usual de R^(n+1), esta métrica Semi-Remanniana es llamada la métrica de Lorenz para n = 3 la cual aparece naturalmente en la relatividad.
Las funciones gamma las cuales se denominan los coeficientes de la conexión o símbolos de Christoffel de la conexión, calculados sobre ciertas variedades diferenciables con una métrica Semi-Riemanniana asociada.
La conexión de Levi-Civita es la única conexión donde se satisface que el tensor de torsión es cero (simétrica) y que la conexión es compatible con la métrica conocida con el nombre del teorema fundamental de la geometría Semi-Riemanniana.
Se consideran varios ejemplos sobre el plano hiperbólico tales como:
1. Modelo del hiperboloide.
2. Modelo del disco de Poincaré.
3. Modelo hemisférico.
4. Modelo del plano superior de Poincaré.
En donde, se calculan los coeficientes de Christoffel, la métrica asociada, tensor métrico de Riemann, tensor de curvatura de Ricci y el tensor de curvatura escalar a dichos modelos, por medio del programa SageMath versión 7.6.
Resumen
This degree paper presents:
The first fundamental form and how from it generate the tensor geometries Riemanniana and Semi-Riemanniana demonstrating certain examples.
A Semi-Riemannian metric on R ^ (n + 1) using some quadratic form and showing that the parallel transport corresponding to the Levi-Civita connection of the metric described coincides with the usual parallel transport of R ^ (n + 1) , This Semi-Remannian metric is called the Lorenz metric for n = 3 which appears naturally in relativity.
The gamma functions which are called the connection coeffi- cients or Christoffel symbols of the connection, calculated on certain differentiable varieties with an associated Semi-Riemannian metric.
The Levi-Civita connection is the only connection where it satisfies that the torsion tensor is zero (symmetric) and that the connection is compatible with the metric known as the fundamental theorem of Semi-Riemannian geometry.
Several examples are considered on the hyperbolic plane such as:
1. Hyperboloid model.
2. Model of the Poincaré disk.
3. Hemispheric model.
4. Model of the upper plane of Poincaré.
Where, the Christoffel coefficients, the associated metric, Riemann metric tensor, Ricci curvature tensor and the scalar curvature tensor are calculated by means of the SageMath version 7.6 program.
Palabras clave
Métrica Semi-Riemanniana, Conexión, Geometrías tensoriales, Funciones Gamma