Elementos básicos de la teoría analítica y cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias
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2024-09-27
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Descripción
En general, es conocido que resolver sistemas de ecuaciones diferenciales puede llegar a ser una tarea muy compleja, y en ocasiones, resulta imposible obtener soluciones explícitas. Y aún cuando esto sea posible, puede ser muy complicado estudiar dichas soluciones. Debido a esto, es de gran importancia contar con diferentes herramientas de estudio desde el punto de vista cuantitativo y cualitativo. Este trabajo realiza un estudio sobre los conceptos fundamentales de la teoría de los sistemas de ecuaciones ordinarias diferenciales lineales (SEDL) utilizando dos enfoques que son el cuantitativo y el cualitativo; y pretende servir de guía integral y esencial para comprender y aplicar estos conceptos en las diferentes áreas de estudio. Comenzamos el estudio con los teoremas que nos permiten garantizar la existencia, unicidad y la forma de calcular las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales, que son fundamentales en la
teoría de los SED, ya que establecen condiciones bajo las cuales es posible encontrar una solución única y válida para un sistema dado. También abordamos las formas de Jordan que nos permitirán hallar la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, utilizando los valores y vectores propios de la matriz de coeficientes del sistema. Finalmente, presentamos una clasificación completa de los diagramas de fase de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en el plano.
Resumen
In general, it is well known that solving systems of differential equations can be a very complex task, and sometimes it is impossible to obtain explicit solutions. Even when this is possible, studying such solutions can be very complicated. Because of this, it is very important to have different tools for study from both quantitative and qualitative perspectives. This work conducts a study of the fundamental concepts of the theory of linear ordinary differential equation systems (LODES) using two approaches: quantitative and qualitative. It aims to serve as an integral and essential guide to understanding and applying these concepts in different fields of study. We begin the study with theorems that allow us to guarantee the existence, uniqueness, and method for calculating the solutions of linear equation systems, which are fundamental in the theory of ODEs, as they establish conditions under which it is possible to find a unique and valid solution for a given system. We also address Jordan forms, which will allow us to find the solution of a system of linear differential equations with constant coefficients, using the eigenvalues and eigenvectors of the system's coefficient matrix. Finally, we present a complete classification of phase diagrams of linear differential equation systems in the plane.
Palabras clave
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, Teorema de existencia y unicidad, Diagramas de fase, Matriz fundamental