Estabilidad en bases ortonormales y frames en espacios de Hilbert
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2018-06-05
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Descripción
Los frames, entendidos como un concepto algebraico que generaliza las bases ortonomales, cuentan con propiedades específicas que permiten un mejor procesamiento de la información que guardan en sus coeficientes de expansión y evitan la pérdida de la misma. Un caso concreto es que los frames sirven como herramienta en el procesamiento de imágenes y señales. En el presente trabajo se resaltan dichas características a partir de su estudio sobre el espacio de Hilbert. En primer lugar y para ahondar en el concepto de frame, este se estudió sobre espacios de dimensión finita. Lo anterior llevó a establecer una relación entre la transformada de Fourier discreta y los frames. Luego, se llevó el estudio a espacios de dimensión infinita, lo que permitió ver una relación clave con las bases de Riesz. Finalmente, el trabajo desemboca en el concepto de estabilidad de los frames en los espacios de Hilbert.
Resumen
Frames have been studied as an algebraic concept which aims to generalize the orthonormal basis. Their unique properties allow to process information better and their coordinates hinder information being lost. Frames can serve as a tool for the processing of images and signals. These aforementioned characteristics were highlighted by studying frames on Hilbert Spaces. In order to study the concept in depth, frames were described under the conditions of finite dimensional spaces; by doing so, a connection between these and the Discrete Fourier Transform (DTF) was spotted. Then, this frames study was taken to infinite dimensional spaces finding a key relationship with the concept of Riesz basis. Finally, this work focuses on the stability in frames on Hilbert spaces.
Palabras clave
Frames, Estabilidad, Bases de Riesz, Bases Ortonormales, Transformada de Fourier Discreta, Operadores Lineales, Espacios de Hilbert
Materias
Matemáticas - Tesis y disertaciones académica, Espacio de Hilbert, Teoría de la medida, Análisis de series de tiempo