Trejos Angel, Deccy YanethManrique Moreno, Juan Sebastian2025-12-092025-12-092025-10-27http://hdl.handle.net/11349/100069Esta monografía se inscribe en el ámbito de la física matemática y aborda la interacción entre el cálculo fraccionario y las redes neuronales ortogonales en la modelación de sistemas viscoelásticos con memoria, tomando como caso representativo la ecuación diferencial fraccionaria de Bagley-Torvik. En la primera parte se examina el marco teórico del cálculo fraccionario y su papel en la descripción de fenómenos de disipación y relajación temporal, derivando rigurosamente la ecuación de Bagley-Torvik a partir del problema de Stokes para un fluido newtoniano. En la segunda, se revisan las bases matemáticas y propiedades de las redes neuronales ortogonales sustentadas en polinomios clásicos de Hermite, Laguerre y Legendre, destacando su coherencia con los distintos dominios físicos de aplicación. Finalmente, se compara el desempeño de tres arquitecturas (HerNN, LaNN y LeNN) bajo diversos esquemas de entrenamiento para aproximar la solución de dicha ecuación. Los resultados experimentales revelan un patrón consistente: el esquema Extreme Learning Machine (ELM) proporciona la mejor combinación de precisión y eficiencia computacional, alcanzando para la arquitectura de Legendre (LeNN) una pérdida de 0,04035, un RMSE de 0,20088 y un coeficiente de correlación r = 0,9929, con tiempos de ejecución inferiores a 0,1 s. Los métodos iterativos de segundo orden (BFGS y Newton-CG) también mostraron un rendimiento notable, aunque con mayor variabilidad según la arquitectura y las condiciones numéricas. El análisis teórico-numérico evidenció además la influencia del intervalo de convergencia de los polinomios y la sensibilidad del operador fraccionario frente a la discretización temporal, factores determinantes en la estabilidad de la aproximación. En conjunto, los resultados confirman que la red de Legendre entrenada mediante ELM ofrece la representación más precisa y estable de la dinámica viscoelástica descrita por la ecuación de Bagley-Torvik, consolidando el enfoque fraccionario-ortogonal como una herramienta eficaz para el estudio de sistemas físicos con memoria y comportamiento no local.This monograph lies within the field of mathematical physics and explores the interplay between fractional calculus and orthogonal neural networks in modeling viscoelastic systems with memory, taking the fractional Bagley-Torvik equation as a representative case. The first part examines the theoretical framework of fractional calculus and its role in describing dissipation and temporal relaxation, deriving the Bagley-Torvik equation rigorously from Stokes’ problem for a Newtonian fluid. The second part reviews the mathematical foundations of orthogonal neural networks based on classical Hermite, Laguerre, and Legendre polynomials, emphasizing their consistency with distinct physical domains. Finally, a comparative analysis of three architectures (HerNN, LaNN, and LeNN) under various training schemes is conducted to approximate the equation’s numerical solution. Experimental results show a clear pattern: the Extreme Learning Machine (ELM) scheme achieves the best balance between accuracy and computational efficiency, with the Legendre-based network (LeNN) reaching a loss of 0.04035, RMSE of 0.20088, and correlation coefficient r = 0.9929 in less than 0.1 s of computation. Second-order iterative methods (BFGS and Newton-CG) also yielded competitive results, though with greater sensitivity to the network architecture and numerical conditions. The theoretical-numerical analysis further highlighted the impact of the convergence interval of orthogonal polynomials and the discretization sensitivity of the fractional operator on solution stability. Overall, the findings confirm that the Legendre network trained with ELM provides the most accurate and stable representation of the viscoelastic dynamics described by the Bagley-Torvik equation, establishing the fractional-orthogonal framework as a powerful tool for modeling physical systems with memory and nonlocal behavior.pdfspaCálculo fraccionarioEcuación de Bagley-TorvikFísica matemáticaViscoelasticidadRedes neuronales ortogonalesPolinomios ortogonalesbachelorThesisFísica -- Tesis y disertaciones académicasOpenAccessFractional calculusBagley-Torvik equationMathematical physicsViscoelasticityOrthogonal neural networksOrthogonal polynomialsAbierto (Texto Completo)