El teorema de Gauss-Bonnet
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2025-11-10
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Universidad Distrital Francisco José de Caldas
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Navarro Hernandez, Fermin (2025). El teorema de Gauss-Bonnet. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. https://hdl.handle.net/11349/100441
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Resumen
This work aims to determine the deep relationship between absolute curvature and total geodesic curvature along a simple curve, and their connection with the topology of the curve and of the region it encloses on a regular surface; that is, to understand the geometric and topological meaning of the Gauss–Bonnet theorem. The study focuses on its local version, in addition to presenting some simple applications cited in \cite{doCarmo1984} and \cite{struik1988}. The proof of this theorem is not particularly complex, since it suffices to apply some previously mentioned results by substituting their equivalent expressions. The main difficulty lies in providing geometric and topological interpretations. Some results will be presented without proof in order to formulate the global version of the theorem, together with a single application.
The study will initially focus on the local version of the theorem, emphasizing the role of absolute curvature as a measure of how a portion of the plane is deformed with respect to the normal direction. Furthermore, the interpretation of geodesic curvature as a reflection of the intrinsic behavior of the boundary of a simple region will be discussed. The theorem of rotation of tangents will also be analyzed, describing the total variation of the angle between the tangent vector of a coordinate curve and the direction of the tangent vector along a simple closed curve on the surface. All of this serves to reveal the connection that this result provides between the local analysis of curves on a regular surface and global invariant topological implications, thereby motivating an understanding of the meaning of the boundary term.
Descripción
Este trabajo tiene como objetivo determinar la profunda relación entre la curvatura absoluta y la curvatura geodésica total a lo largo de una curva simple, y su conexión con la topología de la curva y de la región que encierra en una superficie regular; es decir, comprender el significado geométrico y topológico del teorema de Gauss–Bonnet. El estudio se centra en su versión local, además de presentar algunas aplicaciones simples citadas en \cite{doCarmo1984} y \cite{struik1988}. La demostración de este teorema no es especialmente compleja, ya que basta con aplicar algunos resultados previamente mencionados sustituyendo sus expresiones equivalentes. La mayor dificultad radica en proporcionar interpretaciones geométricas y topológicas. Se presentarán algunos resultados sin demostración para poder formular la versión global del teorema, junto con una única aplicación.
El estudio se enfocará inicialmente en la versión local del teorema, enfatizando el papel de la curvatura absoluta, como que tanto se deforma un pedazo de plano teniendo en cuenta la dirección normal. Además, la interpretación de la curvatura geodésica como reflejo del comportamiento de la frontera de una región simple en el sentido intrínseco. También se analizará el teorema de rotación de tangentes, que describe la variación total del ángulo tomado desde el vector tangente a una curva coordenada con la dirección del vector tangente a lo largo de una curva cerrada simple sobre la superficie. Todo para poder ver una conexión que este resultado provee entre el análisis local de curvas sobre la superficie regular y las implicaciones topológicas globales invariantes, sirviendo como motivación para comprender el significado del término asociado a la frontera.