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Title: Algunas Aplicaciones de Métodos de Espacios de Hilbert a Ecuaciones Diferenciales Semilineales con Espectro Discreto
Author: Beltrán Lizarazo, José David
Rodríguez Prieto, Leidy Paola
Advisor: Sanjuán Cuéllar, Álvaro Arturo
Subjects: Matemáticas - Tesis y disertaciones académicas
Espacio de Hilbert
Ecuaciones diferenciales
Análisis funcional
Keywords: Ecuaciones Diferenciales Semilineales
Espacios de Hilbert
Semilineal
Resonancia
Espectro Discreto
Date: 6-Dec-2017
Abstract: In this dissertation we expose some ideas that allow us to face problems related to semi-linear differential equations through Hilbert spaces theory and functional Analisis. In the chapters 2 and 3 we present a brief summary of some concepts and results in relation to certain Hilbert spaces and the spectral theory of operators that is useful in the statement of differential equations in the so mentioned spaces. At the first part of the chapter 4 we present the general form of the semi-linear differential equations which are the main focusing of this dissertation, and the way in which these are related with problems of operators in Hilbert spaces. At the end of the chapter 4, we develop as particular case of the semi-linear equations the armonic oscilator and the linear resonance phenomena for this problem; we exhibit solutions and we show the relations that exist between the spectrum of the differential operator and the existence and uniqueness of solutions to this problem. Finally, in the chapter 6 we introduce a generalization of the previous result to equations that involve self-adjoint differential operator over any Hilbert space and no-linearity more general.
Description: En este trabajo exponemos algunas ideas que permiten abordar problemas relacionados a ecuaciones diferenciales semilineales desde la teoría de espacios de Hilbert y el Análisis Funcional. En los capítulos 2 y 3 presentamos una breve recopilación de algunos conceptos y resultados relacionados a ciertos espacios de Hilbert y la teoría espectral de operadores que es de utilidad en el planteamiento de ecuaciones diferenciales en dichos espacios. En la primera parte del capítulo 4 presentamos la forma general de las ecuaciones diferenciales semilineales que son el enfoque principal de este trabajo, y la manera en como éstas se relacionan con problemas de operadores en espacios de Hilbert. En el final del capítulo 4, desarrollamos como caso particular de las ecuaciones semilineales el oscilador armónico y el fenómeno de resonancia lineal para dicho problema; exhibimos soluciones y mostramos las relaciones que existen entre el espectro del operador diferencial y la existencia y unicidad de las soluciones al problema asociado. En el capítulo 5 establecemos las condiciones suficientes para la existencia y unicidad de la solución al problema semilineal y finalmente en el capítulo 6 introducimos una generalización del anterior resultado a ecuaciones que involucran operadores diferenciales autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert cualquiera y no-linealidades más generales
URI: http://hdl.handle.net/11349/12992
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